摘 要：学习需要方法.类比法是一种极有价值的方法，在数学教学中，用好此法，不但对学好数学有益，还能培养人的思维广阔性和创新性，应予以重视.
关键词：思维方法;类比;创新
引言
素质教育的今天，除了要教学生知识，我们更应该是教给学生思维方法，变学会知识为会学知识，进而发展学生的能力，这是我们的重要任务.本文着重谈谈如何应用类比法进行数学教学，培养学生的创新思维.
1 类比的概念及方式
类比就是类比推理，它是根据两个对象具有某些相同属性而作出它们的另一些属性也相同论断的一种推理.当然，类比结果正确与否，是要证明或论证的.
类比通常有两种方式.其一是根据两种事物的属性在某些方面相似，推想此二事物的属性在其它一些方面也相似.比如，由矩形的两条对角线相等且互相平分，推想长方体的对角线也相等且互相平分;由幂的整数指数运算法则推想幂的分数指数运算相应法则等.用好此法，能起“举一反三”，“触类旁通”的作用.
其二是将处理某种富有成效的经验或方法借用到处理与其性质相似的另一事物上去.比如，用模拟力学系统平衡来求数学上一些极值问题的解;用数学上群论的方法来确定化学中物质的晶体结构等.此法应用得好，能使我们有所发现，有所创造 [1 ].
2 类比的运用
2.1 抓住对象的本质属性进行类比
若两个对象间的某些相同属性是本质的，则类比推导的属性比较可靠，并且相同属性愈多，则愈可靠.
例如分数和分式，分数是分式的特殊情况，进行类比是有意义的.所以，由分数的基本性质和四则运算法则，可类比推出分式的基本性质和四则运算法则.
再如，平面几何和立体几何，前者是后者的基础，后者是前者的发展，它们的很多基本元素是相同的.许多性质有本质上联系，注意进行类比可将平几的一些重要结论推广到立几中去.
例如：
平面 类比 空间
平行于同一条直线的 平行于同一条直线的
两条直线互相平行 两条直线互相平行
平行于同一条直线的 平行于同一个平面的
两条直线互相平行 两个平面互相平行等等
2.2 利用抽象分析进行类比，得出新结论
数学中的类比并不总是浅显的，经常要通过深入分析，才能顺利地应用从而得出新概念，引出新猜想，得出新方法.例如，将平面几何的勾股定理用类比推广到空间必须通过一番分析（如图1）.
平 面 类比 空间
①三角形 ①′四面体
②直角三角形 ②′直四面体
③三边有两边互相垂直 ③′四个面（除一面外）
有三个面两两互相垂直
④c2=a2+b2 ④′So2=Sa2+Sb2+Sc2 [2 ]
2.3 对有些探索性问题，通过观察、分析、类比，可以构造出符合条件的实例，通过对具体的实例进行剖析从而能探索出结论.
例如，已知λ为非零常数，x∈R且f（x+λ）= [1+f（x）]/ [1-f（x） ].问f（x）是否为周期函数？若是，试求其周期，若不是请说明理由.
提示：由于探求的是周期函数问题，容易联想到三角函数，又f（x+λ）= [1+f（x）]/ [1-f（x）]的结构形式极易与tan（x+π/4）=（1+tanx）/（1-tanx）进行类比，故可把tanx看成是f（x）的一个原型实例，且题中的λ相当于实例中的л/4，由于周期函数tanx的周期T=π=4×π/4，故可猜想f（x）也为周期函数，且周期为4λ，即利用题中已知去证f（x+4λ）= f（x）成立（过程略）.
本例的类比联想给探索开拓了思路，并找到了结论的实例原型.
3 使用类比的注意点
3.1 利用类比要善于观察事物的特点，注意从不同事物身上发现它们的共同或相似之处，并探究造成这种共同或相似的原因，要大胆地放宽眼界，不受自己的研究对象与学科的限制
例如，b>a>0，m>0，则a/b<（a+m）/（b+m）此不等式与化学中溶液浓度求法对比，在溶质为a的b溶液中加入溶质为m的溶液，浓度自然提高，所以此不等式不证自明.
再如下图2所示的某地区的交通图.其中小圈代表城镇，小圈间的连线代表道路，连线旁的ak表示该段道路的公里数.要选择一条从A到B的最短路线，此图论中最短路线问题，目前已有多种解法，但计算量较大，颇费脑筋，当然现在也可交给计算机去做，不过有没有另外简单而有效的办法呢 [3 ]？
利用蜘蛛沿最短路径捕捉昆虫得到启发.用一种没弹性脆细线设计一种模仿最短路线的“交通网”，利用拉牵A、B两端，最易断的则为最短路径的简单方法（原理、过程略）.
简单的东西往往蕴含着深刻的道理，不仅仅是蜘蛛网给予我们如何求最短路线的启示，而且还体现了数学及其自然科学上“模拟”这一重要方法的精神实质.
例如在图3任意锐角ΔABC中求作内接ΔA′B′C′，使其周长A′B′+B′C′+C′A′为最短.此例利用了“光行最速原理”就可方便解决.
再比如，点K是双曲线x2-=1的右焦点，点H在点K北偏东30°方向，长度为2的位置上.经测算，在双曲线右支上，任何一处到点H的费用是到点K费用的2倍，问如何在双曲线右支上选取一个位置，使它到点H和到点K的总费用最低？
这也是一个可类比利用光线从焦点K发出，经凹镜反射后可平行反射出去的原理就可较快解决的问题.
3.2 要善于联想，从一事物联想到与它性质相似的其他事物，从一种方式方法联想到与其作用相似的其他方式方法，从一个概念或定理联想到与其相关的一串概念或定理
如①若arctanX+arctanY+arctanZ=π.求证：X+Y+Z=XYZ
②试证：（a-b）/（1+ab）+（b-c）/（1+bc）+（c-a）/（1+ac）
=（a-b）（b-c）（c-a）/（1+ab）（1+bc）（1+ac）
以上二道题都可由我们熟悉的题目得出：在△ABC中， tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC以及其推广：若∠A+∠B+∠C=Kπ（K∈Z）则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立，得到巧妙解法.
3.3 类比往往配合归纳法，帮助我们得出新的发现.
例如证明恒等式
sinX/cosX=tanX①
（sinX+sin3X）/（cosX+cos3X）=tan2X ②
（sinX+sin3X+sin5X）/（cosX+cos3X+cos5X）=tan3X ③
之后，我们会很快归纳出：
[sinX+sin3X+…+sin（2n-1）X]/ [cosX+cos3X+…+cos（2n-1）X]=tan（nX） （n∈N）.
运用类比法，考虑与以上①、②、③式类似的，但X前的系数为偶数的式子，则我们又可归纳出
（sin2X+sin4X+…+sin（2nX））/（cos2X+cos4X+…+cos2nX）= tan（n+1）X（n∈N）.
再运用类比法，X前的系数成等比数列的式子，我们归纳出更带有普遍性的式子.
{sinX+sin（a+d）X+…+sin [a+（n-1）d]X} / {cosX+cos（a+d）X+…+cos[a+（n-1）d]X}=tan[a+（n-1）d/2]X（n∈N） [4 ].
3.4 使用类比应特别注意：
（1）只有本质上相同或相似的事物，才能进行类比.如果仅仅形式上相似而本质上都不相同的事物，不问青红皂白地乱加类比，就会造成错误.
例如，由n（a+b）=na+nb“类比”出sin（α+β）=sinα+ sinβ，lg（X+Y）=lgX+lgY等等都是错误的.
（2）有限与无限的类比要谨慎，有时可以通过有限与无限类比来从事无限性对象的研究.但是，由于数学中有限与无限之间有着深刻的本质差异，这种类比的结论时常是不可靠的.如将有限和的加法法则运用到无限和会产生错误：例如
1+（-1）+1+（-1）+…
若我们随意进行结合，则可能导致荒谬结论：
ⅰ） [1+（-1）]+ [1+（-1）]+…=0;
ⅱ）1+ [（-1）+1]+ [（-1）+1] +…=1.
结果1=0.
又如，在无限过程中错误地类比有限过程的运算法则
=0+0+0+…+0=0 .
（3）类比得到的结论不一定正确.例如下面类比的结果是错误的.
平面几何 立体几何
垂直于同一直线的两条 垂直于同一直线的
直线互相平行 两条直线互相平行
存在着任意边数的 存在任意面数的
正多边形 正多面体
由于类比是特殊到特殊的推理，其实质上是一种发现而不是论证方法.从逻辑上看，由类比法得到的结论，其真实性依据是不足的，必须经过严格的证明和检验，否则也会造成意想不到的错误.
4 类比的意义
虽然数学注重逻辑推理，但单纯的逻辑推理有时也会到了“山穷水尽”的时候，那么我们在类比中求发现，在比较中去鉴别和认识事物掌握事物的本质属性就显得尤为重要;同时用好类比法，可给我们学生掌握概念法则，启迪思维，发现规律，突破教学中的难点起到很好的辅助作用.更为重要的一点是：类比不只是一种机械性模仿操作方法，实际上类比中还伴随着联想、猜测、概括及归纳等思维活动，所以它对于我们培养思维的广阔性、创造性是非常有利的.
参考文献：
[1]章士藻.中学数学教育学[M].南京：江苏教育出版， 1996.
[2] 杨泰良.中学数学教学理论与实践[M].重庆：西南师范大学出版社 ，1989.
[3] 曾晓新.中学数学的思维与解题[M].重庆：科学技术文献出版社重庆分社，1985.
[4]汪江松.高中数学解题方法与技巧[M].武汉：湖北教育出版社，2006.